Resmin ön planında olan hasır işi dekorasyonu, Topkapı sarayında da görebileceğiniz ortaçağ  girih karolarıyla tasarlanmıştır. Bununla birlikte ongen simetrisi olan bir  kuazi kristalin atomik yapısına da karşılık gelir.

Girih karolarını modern bir “eşkenar dörtgen Penrose döşemesine” uyarlayarak,  iyi bir yakınlaştırmayla onlu döndürme simetrisine sahip bir girih hasır işi yaratılabilir. Bunu yaparken ortaya çıkan düğümlerin, günümüzde kullanılan kaplama modellerinin geometrisine karşılık gelmesiyse şaşırtıcıdır.

Ayrıntılı açıklama için aşağıda verilen pdf belgelerine başvurabilirsiniz (Almanca-İngilizce).

Bu grafik ve bu galerinin diğer bazı resimleri «IMAGINARY - Form und Formel mathematischer Fantasie» sergisinin bir parçasıdır. Bu sergi ilk kez Haziran 2016›da Nürnberg’de gösterildi.

(www. imaginary.org/event/imaginary-in-nuremberg)

(www. imaginary.org/event/imaginary-at-sigena-gymnasium-in-nuremberg)

(www. imaginary.org/gallery/hand-made-hands-on)

Bu resmin altında yatan yapı düzensiz (periyodik-benzeri) bir Penrose  yamuk döşemesidir. Bu döşeme, ongen simetrili kuazi kristalleri modellemek için kullanılır.

Sarıya boyanmış olan alan, merkezi simetrik olmamasına rağmen onlu döndürme simetrisine sahiptir. Bu yapı genellikle perende takla (ya da kağnı tekeri) olarak adlandırılır.

Resimde kadın figürü 35 farklı biçimde konumlanarak adeta perende taklanın hakkını veriyor. Bu özel yamukyüzlü Penrose döşemesinin zorluğunu gösterircesine 15 kez sırtını bize dönmüştür.

Aşağıda verilen Description Booklet pdf belgesinde III. bölümü inceleyiniz (Almanca/İngilizce).

Bu resim, kendi figürlerini buna benzer hatasız bir biçimde birleştiren Hollandalı ünlü ressam M. C. Escher’in çok bilinen eserinden ilhamını almıştır.

Escher’in düzenleme kuralları, kristallerin atom düzenlemelerine uyuşur biçimde periyodiktir. Oysa, bu gördüğümüz resim, periyodik değil periyodik-benzeri Penrose döşemesine dayanır; yani beşli döndürme simetrisine sahip quasikristal atom düzenlemesine karşılık gelir ve bu düzenleme kristalografik olamaz.

Kırmızı renkli balıklar, birbirine 36 derecelik açılarla döndürülmüş 5 farklı doğrultuda yüzüyor.

Turkuaz renk, tüm resmin içine oturtulduğu kağnı tekerleğinin göbeğini fark etmemizi sağlıyor.

Bu resim, periyodik-benzeri olarak konumlandırılmış hayvanlar ile farklı oldukları halde bitiştirilebilen dört döşemenin eşleşmesini gösteriyor.

Halka şeklinde olan alan Robinson üçgenleri denen, içleri hayvan deseniyle doldurulmuş sarı ve turuncu üçgenlerden oluşmaktadır. Üçgenler halkanın içine doğru mavi-büyük ve yeşil-küçük Penrose eşkenar dörtgenlerine; dışa doğruysa mavi uçurtmalara ve yeşil ok uçlarına yapıştırılmıştır.

Bu uçurtmalar, geri kalan arkaplanda Penrose beşgen döşemesinin mavi, yeşil veya sarı beşgenlerine birebir karşılık gelir. Ok uçlarının içbükey köşesi, bir siyah beşgenin, dışbükey köşesiyse bir mor beşgenin merkezidir. Beyaz ve siyah noktalar, uçurtma ve ok ucu döşemesinin eşleşme kurallarını belirler.

Periyodik-benzeri düzlem döşemeleri şöyle özelliklere sahiptir. * Döşemede yerel simetriler görürsünüz. ** Kullanılan karolardan istediğiniz sonlu tanesini seçin, bunlar döşeme boyunca  mutlaka tekrar tekrar ortaya çıkar. *** Fakat tüm döşemeyi kendisine götürecek basit dönüşümler bulamazsınız (öteleme, döndürme).

Beşli döndürme (yani 72 derece) simetrileri görülen periyodik-benzeri döşemelerde, etrafları beşli döndürme simetrisine sahip noktalar düzlemde düzgün dağılmışlardır, ayrıca 5’ten daha yüksek mertebeden döndürme simetrilerine sahip noktalar da var olmalıdır.

Optimize edilmiş olan periyodik-benzeri modeller -örneğin Penrose döşemeleri- hiyerarşik sistemlerdir: basit bir şekilden periyodik olmayan bir döşemeye doğru gitmenin hiyererşik kuralları vardır.

Hayvan desenleri içeren bu resimde beşli döndürme simetrisine sahip 13 merkez turkuaz renkle vurgulanmıştır. Bunlardan 10 tanesi, resmin kenarında bir düzgün ongenin köşelerine tam olarak yerleştirilmiştir. Bu merkezlerdeki döndürmelerin yönü ardışık olarak saat yönü ve tersi yönü diye değişmektedir.

Sarımsı beş kaplumbağanın kafa kafaya vermiş gibi olduğu noktalar, döndürme simetrisinin daha yüksek mertebeden olduğu merkezlerdir.

This wickerwork pattern is assembled only from two types of girih tiles, irregular hexagons and trapeziums. Their aperiodic matching rules are defined by six different colors in their corner regions. Please compare the file Girih Tiling Puzzle provided below the image.

Inside the decagon with the center point C and the top corner T  the same-color corner regions are arranged to pentagons and twin pentagons with an equivalence relation to the order of a Penrose cartwheel.

The extension of this structure to the complete image area is made by four overlaps with copies of the central cartwheel. The rhombs PLVR clarifie the positions of the five cartwheels.

If a red, blue or yellow colored pentagon or twin pentagon is reflected in one of the radial black lines, then the color of the mirror image is green, orange or violet.

The opposite relievo is a digitally edited version of the predecessor image which is called «Girih Cartwheel». 

The process of image editing, developed by te photographer Thomas Bischof from Nuremberg, was globally applied to the whole image, whithout any seperate change of image details.

Two png-files in high resolution of different relievo versions are provided for download. They are subject to the same open licence as other graphics of the wickerwork gallery, i. e., you have the permission to present them in non-commercial context. Attention should be paid to the best possible image quality and perpetuation of the original picture size. 

The first nuclear structures with eightfold rotational symmetry were discovered in 1987. These structures are quasicrystalline because a crystalline (periodic) order may have at most a three-, four- or sixfold rotational symmetry.

A geometric description succeeds in using the Ammann-Beenker tiling. The tiles are squares and rhombs with 45°-angles. The aggregation of the smaller tiles to larger ones − visualized by the coloring − confirmes the hierarchical character of the structure. The wickerwork decoration which is drawn in has a clear-cut correlation to the tiles of both scales.

The highlighted area in the image center containing two large squares and two large rhombs corresponds to one of the Gähler-octagons which cover the plane completely (with overlaps) and have a one-to-one correlation to the closed rings of the wickerwork decoration. 

The opposite Penrose tiling is commonly named the kite & dart tiling. Its tenfold rotational symmetry is detectable in decagonal quasicrystals.

A fourfold rotational symmetry is perfectly realized in a squared paper, i. e., the paper gives the same aspect under a 90°-rotation about a free selected point. In contrast to a squared paper the structure of a Penrose tiling isn’t based periodically. But even though the Penrose tiles are only partially assembled to symmetrical stars and decagons the aspect of the Penrose tiling doesn’t get fundamentally changed under a 36°-rotation because the kites and darts occur almost equally apportioned to the ten possible orientations.

The uniform coloring of tiles with the same orientation clarifies the quasiperiodical sequences which are characterized by a non-periodical alternation of their distances.

The figures shown in this image are assembled in the manner of the artist M. C. Escher, although they don’t have periodical order which is characteristic for his graphic work. The arrangement of the fish and rays is transferred from the predeccessor image, a quasiperiodic and geometric Penrose tiling.

The corners of the figures correspond to the corners of the geometric tiling, whereas the edges of the tiles are deformed to the outlines of the figures.

In contrast to the geometric tiles which allow periodical arrangements too the assembling of the fish and rays force quasiperiodical order.

Two geometric tiles of the same type differing from one another by a rotation about 36 degree correspond to mirrored figures.