Pythagoräische Tripel (also drei ganze Zahlen a,b und c, die die Gleichung a²+b²=c² erfüllen) wie (3, 4, 5) oder (4961, 6480, 8161) sind bereits seit der Zeit der Babylonier um 1600 nach Christus bekannt. Die Babylonier kannten bereits den Zusammenhang zwischen solchen Tripeln und rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen und zu dem Problem, eine gegebene Quadratzahl als Summe von zwei Quadratzahlen auszudrücken. Obwohl sich schon Euklid um300 vor Christus intensiv mit dem Studium der pythagoräischen Tripel beschäftigte, dauerte es noch bis Mitte des 18. Jahrhunderts, bis der französische Mathematiker Pierre de Fermat seine berühmte Vermutung formulierte: “Kein Würfel kann in zwei Würfel zerteilt werden und kein Biquadrat in zwei Biquadrate, noch irgendeine Potenz nach der zweiten in zwei derselben Art”.

Das ist die Formulierung des bekannten “letzten Satzes von Fermat”, der besagt, dass die Gleichung a^n+b^n=c^n für n größer 2 keine nicht-trivialen ganzzahligen Lösungen hat. Es dauerte bis 1994, um den Satz vollständig zu beweisen. Der Beweis verwendet die Theorie der elliptischen Kurven, die erst im 20ten Jahrhundert entstanden ist. 

Elliptische Kurven haben schöne und gleichzeitig tiefgründige Eigenschaften. Die Mathematik beschäftigt sich seit dem 19ten Jahrhundert mit ihnen. Es handelt sich um ebene Kurven vom Typ y2 = x3+a·x+b. Diese Gleichung in der affinen Ebene entspricht der homogenen Gleichung zy2 = x3+a·xz2+b·z3, die im Raum eine Familie von algebraischen Flächen mit den Parametern a und b beschreibt. Am Computer berechnete Variationen dieser Gleichung erzeugen schöne Animationen, regen unsere Phantasie an und wecken unsere mathematische Kreativität.

Das mathematische Teilgebiet der Kryptographie beschäftigt sich mit der Verschlüsselung und Übermittlung von sensiblen Informationen. Seit 1977 wird hauptsächlich das RSA-Sicherheitssystem benutzt. Es basiert auf der Verwendung von Primzahlen und der Schwierigkeit, eine große natürliche Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen.

Mithilfe der Methode der elliptischen Kurven zur Faktorisierung einer ganzen Zahl wurde 1985 die Elliptic Curve Cryptography (ECC) entwickelt. Diese Methode hat das mathematische Niveau der Verschlüsselung auf eine neue Stufe gehoben.

Die Sicherheit des ECC-Algorithmus basiert auf dem Problem des diskreten Logarithmus elliptischer Kurven, das in der Arithmetik der endlichen Körper sehr schwer zu lösen ist. Neue mathematische Entwicklungen zeigen, dass so ein bestimmtes gewünschtes Sicherheitsniveau mit signifikant kleineren Schlüsseln erreicht werden kann, z. B. erzeugt ein 160-bit ECC-Schlüssel dieselbe Sicherheitsstufe wie ein 1024-bit RSA-Schlüssel.

Die Theorie der elliptischen Kurven illustriert anschaulich die Schönheit von Zahlentheorie, Algebra und Geometrie in ihrer Verbindung und stellt ein mächtiges mathematisches Werkzeug zur Verbesserung der Sicherheit von online-Einkäufen und elektronischer Kommunikation dar. Die alte und unsichere Methode des Cäsar-Codes, die nur eine einfache arithmetische Operation verwendet, um das gewöhnliche lateinische Alphabet mit der Formel d=c-3 (mod 26) zu verschlüsseln, hat ausgedient. Aber mit ihr kann man den Titel dieses Films dekodieren:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Sie finden den Film in hoher Auflösung in Portugiesisch, Deutsch, Englisch und Spanisch unter diesem Link:

www. cim.pt/?q=LPD-UHW