‘공원 안에서’(In the City Park)는 연작 ‘도시의 경치’의 한 작품입니다.

‘도시의 경치’ 에서 저는 유독성 폐기물과 같은 불쾌한 면도 포함해 도시 생활의 여러 측면을 나타내려 했습니다. 

‘원자 달걀’(Atomic Egg)는 연작 ‘도시의 경치’의 한 작품입니다.

‘도시의 경치’ 에서 저는 유독성 폐기물과 같은 불쾌한 면도 포함해 도시 생활의 여러 측면을 나타내려 했습니다

‘거친 전사’(Wild Fighter)는 연작 ‘십이야’의 한 작품입니다.

지역에 따라 크리스마스로부터 12일번째 밤은 전통적인 의미를 가지고 있습니다. 독일에서 이는 ‘Raunächte’ (십이야)로 불립니다. 민속 신화에 따르면 이 밤 동안 사냥이 진행됩니다. 사냥꾼은 요정이나 엘프, 혹은 망자 중 하나가 될 수 있습니다. 또한 유령과 망자의 영혼 또한 풀려납니다. 

‘기묘한 세계’(Strange World)는 연작 ‘기묘한 세계들’의 한 작품입니다.

‘석회식물’(Lime Plant)는 연작 ‘기묘한 세계들’의 한 작품입니다.

‘기구’(Instrument)는 연작 ‘기묘한 세계들’의 한 작품입니다.

‘작물 농업 공장’(Agricultural Crop Factory)는 연작 ‘기묘한 세계들’의 한 작품입니다.

세 변의 길이의 비가 3:4:5인 삼각형은 직각삼각형입니다. 왜냐하면 세 수 3^2 + 4^2 = 5^2가 피타고라스 정리의 등식 a^2 + b^2 = c^2을 만족시키기 때문입니다.

배경의 하얀색 물체는 파라오 쿠푸(Khufu)의 피라미드의 왕의 방(King’s Chamber)의 축소 모형입니다. 놀랍게도, 12개의 매듭이 있는 끈으로 만들어진 빨간 3-4-5 삼각형이 내부공간 안에 정확히 들어갈 수 있습니다.

전면의 물체는 피타고라스 정리의 공간 막대 모형(Spatial Pythagorean Stick Model)입니다. 수직 방향의 고정된 막대기에는 3개의 빨강, 초록, 파랑 구슬이 각각 높이 7, 8, 9단위에 박혀 있습니다. 몇 개의 구슬들은 피타고라스 등식의 가능한 정수해를 기준으로 평면에 추가로 박혀 있습니다. 단위길이가 표시되어 제공되는 막대기들은 정수 대각선들의 길이와 일치하게 만들어졌습니다.

공간의 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system), 즉, 직교좌표계에서 점 P0 (0,0,0)과 다른 점 P1 (x,y,z) 사이의 거리 d는 공식 x^2 + y^2 + z^2 = d^2 로 주어집니다.

등식 12^2 + 20^2 + 9^2 = 25^2 에 맞추어, 소녀는 두 파란 구슬을 잇는 정확한 길이의 막대기를 선택했습니다.

피라미드의 4개의 변들은 늘여진 빨간 실들입니다. 까만 삼각형이 피라미드 면의 경사를 알려줍니다. 삼각형의 수평인 변 a와 수직한 변 b의 비는 11:14입니다. a의 값은 보통 220 이집트 로얄 큐빗(Egyptian royal cubits)인 115.19m로 정해지고, 이로 계산한 b는 146.60 m 혹은 280 로얄 큐빗입니다.

이 모형은 황금비 τ (τ = 1.61803…)와 원주율 π (π = 3.14159…)을 이용해 다른 방식으로 높이 bτ 와 bπ 을 구하는 방식을 보여줍니다.

b(τ) = (τ^0.5) a = 146.52 m   

b(π) = 4 (π^-1) a = 146.66 m 

(주의 사항: τ^0.5 = √τ 그리고: π^-1 = 1/π )

고대의 측량 기술로는 b, bτ, bπ 이 세 값 사이의 차이를 찾을 수 없었습니다. 아마도 피라미드는 근본적으로 기하학적인 건축이라고 생각되었을 것입니다.

I. 철제 고리로 표시된 관측 구멍에서 보면, 하얀 전체 타원이 아크릴 플렉시글라스에 보이는 검은 원을 정확히 채우게 됩니다. 즉 관측 구멍과 원이 이루는 원뿔의 단면이 타원이 됩니다.

II. 천문학자 요하네스 케플러(Johannes Kepler, 1571-1630)는 두 동심원의 반지름 선분으로 주어지는 교점의 사영으로 타원을 그려냈습니다. 반지름 선분이 내부의 동심원과 만나는 교차점에서 수평선을, 외부의 동심원과 만나는 교차점에서 수직선을 긋습니다. 이 둘의 교차점들을 모두 이으면 타원이 완성됩니다. 좌상단의 교차하는 끈들을 (타원과) 비교해 보세요.

III: 정수좌표 점들의 예를 이용하여 타원이 원을 수평 방향으로 늘인 것을 볼 수 있습니다.

IV. 타원 컴퍼스(ellipsograph)는 미끄러지는 받침대에 놓여 움직일 수 있는 막대기를 이용해서, 두 초점에 끝점이 연결되어 있는 선으로 만들어진 타원을 그려냅니다.

상감 육각형이 20 번 나타나는이 거울 물체는 어린이와 성인에게 매우 인기가 있습니다.

물체는 밑면 대 높이 비율이 1 : 0.5 τ (τ = 0.5 (√5 + 1) = 1.61803 …) 인 이등변 삼각형 형태의 세 개의 거울로 구성됩니다. 이 거울 물체는 나무로 만들어져 있습니다.

거울의 똑같이 긴 측면은 서로 연결되어 있으며 각각 72°의 내부 각도를 형성합니다. 결과적으로 육각형에 부착 된 검은 색 줄무늬가 오각형으로 나타납니다. 여러 예금자가 제공됩니다.

이 갤러리의 일부 개체는 2016 년 6 월 뉘른베르크에서 처음으로 전시 된 “IMAGINARY - Form und Formel mathematischer Fantasie”전시회에 자세히 설명되어 있습니다.

(www. imaginary.org/event/imaginary-in-nuremberg)

13세기 초에 피보나치(Leonardo Fibonacci)는 토끼 집단의 개체수를 계산하는 가상의 규칙을 서술하였습니다. 이 규칙은 어린 토끼들의 쌍과 어른 토끼들의 쌍들에 대한 준주기(quasiperiodic) 수열을 만들어 냅니다. 길이 S를 어린 토끼들의 쌍에, 길이 L을 어른 토끼들의 쌍에 대응시키면, 수열은 대입 방법에 의해 만들어진 것과 정확히 일치합니다.

사진 위쪽에 보이는 일차원의 준단위(quasi-cell)들이 순차적으로 준주기 수열을 만들어 갑니다. 노란색 미끄럼자들이 이어지는 성장을 결정합니다. 자들은 주기적인 평균 길이를 갖고 있습니다. 사진에서 보듯 이들의 끝점을 서로 연결하면, 준단위들의 작동 방식이 이 완벽한 준주기 수열을 성장시키는 원동력이 됩니다.

이 1차원 준단위는, 다음 세 체험물들의 주제인 빈틈 없는 10각형의 준결정 성장의 모형을 만드는 기초가 됩니다. 더욱 자세한 정보는 Wickerwork 갤러리 설명서(description booklet of the Wickerwork gallery, 독어/영어 제공)에서 찾아볼 수 있습니다.

준결정의 성장의 수학적 표현을 펜로즈 마름모들의 짝짓기 규칙이나 관련된 번갈아 겹치는 단위체(Gummelt의 십각형)의 덮개 규칙(covering rules)만으로 설명하려면 항상 맞지 않는 부분이 생기게 됩니다.

준주기 연쇄(quasiperiodic succession) 알고리즘도 순차적으로 작동하지만, 이는 각각의 준단위체 Q에 대한 두꺼운 마름모들을 조절하여 빈틈없는 수레바퀴 체계의 성장을 촉진시킵니다.

준단위체 Q에 주기적인 평균길이를 갖는 5개의 노란색 미끄럼자가 있습니다. 초기 단위체의 자들은 별 모양을 띠고 있습니다. 큰 파란색의 Q 준단위체는 좌상단에서 보이는 수레바퀴 체계의 파란 마름모와 관련이 있습니다. 여기서는 하나만의 자만이 표시되어 있고, 이는 빨간 쌍둥이 틀에 맞추며 유동적으로 움직일 수 있습니다. 자의 위치는 좌하단의 초기 단위체의 평행한 자에 의존합니다. 우측의 끝점 표시는 자의 위치를 평행한 회전고리에 연결되어 있는 우상단 검은 경계선 마름모의 초록색 틀에 옮길 수 있게 합니다. 그 위치는 좌상단 수레바퀴 체계의 초록 마름모와 관련되어 결정됩니다.

The recursive formula consists of 50 scale value equations. The ten blocks in the outer columns correspond to the ten possible rhombus neighborhoods hj which are shown beside the columns. a, b, c, d and e are the values of the five double scales of a quasicell Q. The double scales are rotated by 36° to one another. Each thick rhombus can be assigned a quasicell Q.

The five values of the start cell Q0 are infinitesimally small, i. e. μ0 = 10^–n, with lim n → ∞. If they are entered in the central block, the formula leads to four valid neighbours, h1*, h2*, h4 and h1 (because their five respective values are valid) and six invalid neighbours (because one or more of their respective values are invalid). Please note that an asterisk is used here instead of an overline to indicate an inverse operation.

The valid values of Q01*, Q02*, Q04 and Q01are entered in the central block of four new formula sheets whereby the next generation of neighbours can be calculated. This recursiv scheme creates step by step an error-free quasiperiodic cartwheel order, as required for such a growth model.