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Optimal transport is the mathematical discipline of matching supply to demand while minimizing shipping costs. This matching problem becomes extremely challenging as the quantity of supply and demand points increases; modern applications must cope with thousands or millions of these at a time. Here, we introduce the computational optimal transport problem and summarize recent ideas for achieving new heights in efficiency and scalability.
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Nicht nur Seefahrerinnen, auch Computergrafikerinnen und Physikerinnen wissen Winkeltreue zu schätzen. Doch beschränkte Rechenkapazitäten und Vereinfachungen in theoretischen Modellen erfordern es, winkeltreue Abbildungen nur mit einer überschaubaren Datenmenge zu beschreiben. Entsprechende Theorien werden in der diskreten Mathematik untersucht. Im Folgenden lade ich Sie auf eine Reise in die faszinierende Welt der winkeltreuen Abbildungen ein.
Submitted by Antonia Mey on
In this snapshot, we explore connections between the mathematical areas of counting and geometry by studying objects called simplicial complexes. We begin by exploring many familiar objects in our three dimensional world and then discuss the ways one may generalize these ideas into higher dimensions.
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Viele epileptische Anfälle entstehen in einer begrenzten Region im Gehirn, dem sogenannten Anfallsursprung. Eine chirurgische Entfernung dieser Region kann in vielen Fällen zu Anfallsfreiheit führen. Aus diesem Grund ist die Frage nach der Lokalisation des Anfallsursprungs aus EEG-Aufzeichnungen wichtig. Wir beschreiben hier ein Verfahren zur Lokalisation des Anfallsursprungs mittels Zeitreihenanalyse, das auf der Schätzung von Spektren im EEG beruht.
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Wie würdest du Tennisbälle oder Orangen stapeln? Oder allgemeiner formuliert: Wie dicht lassen sich identische 3-dimensionale Objekte überschneidungsfrei anordnen? Das Problem, welches auch Anwendungen in der digitalen Kommunikation hat, hört sich einfach an, ist jedoch für Kugeln in höheren Dimensionen noch immer ungelöst. Sogar die Berechnung guter Näherungslösungen ist für die meisten Di- mensionen schwierig.
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Mathematicians routinely speak two languages: the language of geometry and the language of algebra. When translating between these languages, curves and lines become sets of polynomials called “ideals”. Often there are several possible translations. Then the mystery is how these possible translations relate to each other. We present how geometry itself gives insights into this question.
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A grid region is (roughly speaking) a collection of “elementary cells” (squares, for example, or triangles) in the plane. One can “tile” these grid regions by ar- ranging the cells in pairs. In this snapshot we review different strategies to generate random tilings of large grid regions in the plane. This makes it possible to observe the behaviour of large random tilings, in par- ticular the occurrence of boundary phenomena that have been the subject of intensive recent research.
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When lots of robots come together to form shapes, spread in an area, or move in one direction, their motion has to be planned carefully. We discuss how mathematicians devise strategies to help swarms of robots behave like an experienced, coordinated team.
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An operad is an abstract mathematical tool encoding operations on specific mathematical structures. It finds applications in many areas of mathematics and related fields. This snapshot explains the concept of an operad and of an algebra over an operad, with a view towards a conjecture formulated by the mathematician Pierre Deligne. Deligne’s (by now proven) conjecture also gives deep inights into mathematical physics.
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Cet instantané traite de la symétrie zéro-dimensionnelle. Grâce à des découvertes récentes, nous comprenons mieux ces symétries que ce qui était auparavant cru possible. Bien qu’encore très incomplète, une vision de la symétrie zéro-dimensionnelle commence à émerger.