Las ternas pitagóricas, como (3, 4, 5) o (4961, 6480, 8161) eran ya conocidas por los antiguos Babilonios, alrededor del 1600 A. C. También eran conscientes de su relación con los triángulos rectángulos con lados enteros, y con el problema de dividir un número cuadrado en otros dos cuadrados. Pero a pesar de que estas ternas fueron estudiadas en detalle desde los tiempos de Euclides, alrededor del 300 A. C., fue recién a mediados del siglo XVII cuando Pierre de Fermat hizo su famosa observación: «Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente.»

Este teorema se volvió famoso con el nombre de «Último teorema de Fermat», y establece que la ecuación An + Bn = Cn no tiene soluciones distintas a cero cuando n es mayor que 2. Fue probado finalmente en 1994, unos tres siglos y medio más tarde, usando la teoría de curvas elípticas creada en el siglo XX.

Las curvas elípticas poseeen propiedades profundas y hermosas. Son curvas en el plano del tipo y2 = x3 + a·x + b, y han sido estudiadas desde el sigo XIX. Esta ecuación en el plano afín, corresponde a la ecuación homogénea y2z = x3 + a·xz2 + b z3 , que describe a una familia de superficies algebráicas con parámetros a y b en el espacio. Variando computacionalmente estas ecuaciones, se obtienen animaciones hermosas que pueden estimular nuestra imaginación y evocar nuestra creatividad matemática.

Se entiende por Criptografía a los métidos para la transmisión y almacenamiento seguro de información secreta y valiosa. Desde 1977, se usa popularmente el sistema de claves públicas RSA, que está basado en la teoría de números primos, y en la dificultad de factorizar números enteros muy grandes. Debido al impacto de los métodos de curvas elípticas para factorizar enteros, se inventó la Criptografía por Curvas Elípticas (CCE) en 1985, con la que se elevó la sofisticación matemática de la criptografía a nuevos niveles.

La seguridad de los algorimos CCE está basada en el problema de logaritmos discretos de las curvas elípticas, que aparenta ser un problema mucho más difícil en aritmética de cuerpos finitos. Algunos avances matemáticos recientes muestran que se puede obtener un nivel de seguridad adecuado con claves significativamente más cortas. Por ejemplo, una clave CCE de 160 bits provee la misma seguridad que una clave RSA de 1024 bits.

La Teoría de curvas elípiticas demuestra la belleza en los vínculos entre la Teoría de números, el Álgebra y la Geometría, y provee una herramienta matemática poderosa para fortalezer la seguridad del comercio electrónico y las comunicaciones seguras. El viejo método de Cifrado César, consistente en usar una operación aritmética simple para codificar un mensaje en el alfabeto latino usando la fórmula d = c - 3 (mod 26) ha quedado obsoleto, pero nos da la clave para decifrar el título de esta película:

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Es posible descargar esta película en alta resolución en Portugués, Alemán, Inglés o Español, desde:
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