El conjunto de Mandelbrot de la familia cuadrática
Repetir una regla simple, una enorme cantidad de veces, puede parecer aburrido e inútil; por ejemplo, elevar un número al cuadrado. Si el número es grande, su cuadrado será mayor, y el cuadrado de su cuadrado será todavía más grande. Podemos decir que, en cada iteración, el resultado se acerca cada vez más al infinito. De hecho, esto le sucede a todos los números cuyo valor absoluto es mayor que uno. Por el contrario: si el número es pequeño, su cuadrado será menor, y con cada iteración sucesiva nos acercaremos arbitrariamente al cero. Las únicas excepciones de este comportamiento, entre los números reales, son el 0, el 1 y el -1.
Ahora bien, si la regla es un poco más complicada: elige un número: c, elévalo al cuadrado: c2 y toma la suma de ambos: c2 + c. De acuerdo a esta regla ¿cuáles números se van a infinito y cuales no?
Esta pregunta tiene una respuesta muy interesante si en lugar de considerar sólo a los números reales la extendemos a los números complejos; en particular porque los números complejos forman un plano, y en un plano podemos hacer dibujos.
El Conjunto de Mandelbrot de la familia cuadrática es precisamente el conjunto de números complejos que no escapan jamás a infinito, repitiendo infinitamente esta regla modificada.
En esta galería podrás observar al conjunto de Mandelbrot completo y algunos detalles de su forma.
Estas imágenes fueron generadas con el programa XaoS. Son acercamientos a detalles del conjunto de Mandelbrot que, de dibujarlo completo a esa escala, serían imagenes de tamaño entre el diámetro de la tierra (10-4) y hasta casi un año luz (10-14).
El conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)
El conjunto de Mandelbrot (detalle)
El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)

El conjunto de Mandelbrot (detalle)
