Mario Markus, de l’Institut Max-Planck pour la Nutrition, a utilisé les systèmes dynamiques pour étudier l’évolution des populations d’animaux - l’évolution de la nourriture, de la fertilité, de la taille, etc. - dont la dynamique impose au mécanisme de reproduction d’alterner quasi-périodiquement entre deux valeurs.

De tels systèmes peuvent avoir aussi bien un cycle stable qu’une évolution chaotique, suivant la valeur assignée à la fertilité. La stabilité et le chaos peuvent être analysés en calculant l‹ «exposant de Lyapunov» (Lyapunov était un mathématicien russe de la fin du 19è siècle).

Les images de Markus-Lyapunov sont des représentations en couleur de l’exposant de Lyapunov en fonction de la fertilité, le long des axes horizontaux et verticaux. Seuls les domaines de stabilité sont représentés; le chaos (exposant de Lyapunov positif) apparaît ici en bleu foncé. Lorsque l’exposant va de 0 à moins l’infini, les traces varient du clair au foncé. En 0, à la frontière avec le chaos, la colour change brusquement du bleu foncé à une trace claire. L’arbitraire occupe une place importante dans cette représentation en couleurs, ce qui donne la possibilité de faire des choix basés sur des considérations esthétiques. L’image consiste en sept images de Markus-Lyapunov qui ont été reconstruites et superposées.

Ces images de fractales ont été produites en rentrant des équations diverses dans le programme Flarium24 Windows de Stephen Ferguson, utilisant 40 itérations ainsi que le filtre :

rr+=atan(fabs(dzy/dzx))*atan(fabs(dzx/dzy))*2.

Elles ont ensuite été assemblées sur Photoshop à l’aide d’une police et de couleurs imitant les anciennes techniques de dessin de Léonard de Vinci. Alors que ces images sont à contenu originel hautement mathématique, de nombreuses personnes les trouvent d’une esthétique attrayante, indépendamment de leur provenance.

La surface colorée en vert sur l’image a trois symétries de translations orthgonales. C’est la surface de niveau donnée par l’équation trigonométrique :

4*(cos x*cos y+cos y*cos z+cos z*cos x) - 3*cos x *cos y *cos z = -2.4.

Une cellule fondamentale a l’allure d’une cavité centrale cubique bordée de tubes sur les faces et les coins. Cette surface est une bonne approximation de la P-surface minimale découverte en 1880 par Karl Hermann Amandus Schwarz (qui fut professeur à Halle, Goettingen et Berlin). Elle a été étudiée récemment par des chercheurs en sciences de la matière, qui l’ont utilisée comme d’autres surfaces pour modeler les «copolymères à blocs».

Le modèle original provient de David A. Hoffman. Il a été illustré et mis dans une scène qui semble contribuer à la beauté de l’objet, et est obtenu en utilisant Bryce.

Cette scène imite les résultats de certaines expériences de diffusion chaotique. Le point de départ est quatre boules identiques, hautement réfléchissantes, disposées en une formation pyramidale de sorte que chaque boule touche toutes les autres. En observant les espaces entres trois boules, les images réfléchies que l’on peut y avoir forment une fractale tridimensionnelle qui vérifie la propriété dite de Wada, nommée d’après le mathématicien japonais qui étudia de telles divisions de l’espace en 1917. La Propriété de Wada renvoie à un système dynamique discret ayant trois bassins d’attraction qui sont entrelacés de sorte que tout point à la frontière d’un bassin est également à la frontière des autres. L’image a été assemblée et obtenue en utilisant Bryce.

la Bouteille de Klein, le 4-noïde, le «Breather», la surface de Boy et la surface de Sievert-Enneper.