# Mathématiques de la planète Terre 2013

## Systèmes dynamiques

Considérons un écosystème où il y a seulement deux populations: les proies et les prédateurs. Le modèle est fondé sur trois hypothèses:
1) Les proies ont une quantité pratiquement infinie de nourriture disponible, donc leur vitesse de croissance augmente proportionnellement à leur nombre.
2) S'il y a plus de proies, il est plus facile pour un prédateur de les trouver; s'il ya plus de prédateurs, il est plus facile pour une proie d'être mangé. Donc la probabilité qu'un prédateur mange des proies varie proportionnellement au produit du nombre de prédateurs et de proies.
3) Les prédateurs sont en concurrence entre eux, donc la croissance de leur population est inversement proportionnelle au leur nombre.

Le modèle est décrit par deux équations du type:
x'= Ax-Bxy,
y'= Cxy-Dy,
où x représente le nombre de proies, y le nombre de prédateurs et x' et y' les respectifs taux de croissance. "A", "B", "C" et "D" sont des paramètres positifs qui dépendent de la situation considérée. «A» exprime le taux de reproduction de la proie, et est liée à l'hypothèse (1). «B» est lié au taux de mort en tuant par des prédateurs,"C" est lié au taux de réussite des attaques des prédateurs sur les proies. "B" et "C" sont reliés à l'hypothèse 2). «D» exprime le fait que, si le nombre de prédateurs est très élevé, alors est possible qu'ils ne peuvent pas trouver suffisamment de nourriture et ils meurent de malnutrition (hypothèse (3)).

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## Automates

Nous savons que la nature se comporte d’une façon très complexe : l’action la plus petite influences le reste du monde pour former une dynamique globale chaotique. Cette dynamique est très difficile à étudier donc, souvent, nous supposons que la nature a un comportement “locale” : par exemple, que la croissance d’un cellule est influencée seulement par les cellules adjacentes. Dans les années cinquante du XX siécle, au fin d’etuider des comportements de cette tipologie, John von Neumann (1903-1957) et Stanislaw Ulam (1909-1984) introduit les automates cellulaires qui sont trés utile pour étudier des dynamiques naturelles, avec une grande série d'applications medicales et informatiques.

Abstraitement, un automate cellulaire est composé par une grille de cellules, où les cellules peuvent individuellement prendre des caractéristiques variantes entre un ensemble “discret” de cas possibles ; par exemple, l’ensemble peut être constitué de seulement deux possibilités : 1/0.

Après, l’état de la cellule à un certain instant est déterminée par l’état d’elle-même et des cellules voisines à l’instant précédent. Un particulier automate cellulaire très étudié est constitué d’une seule ligne de cellules de longueur arbitraire. L’évolution est représentée par une grille dans laquelle chaque ligne correspond à un instant de l’évolution du système ; l’état d’une cellule dépend de l'état des trois cellules qui sont situées au-dessus.

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## Cartographie

Une énigme bien connue dit: "un chasseur vit un ours placé 100 mètres à l'est, il se déplaça au nord de 100 mètres, il tira vers sud et il frappa l'animal. De quelle couleur était l'ours?"

Où se trouve l'astuce? C'est vrai, le chasseur se trouvait au pôle nord, où l'idée intuitive des points cardinaux, souvent associés aux notions de “avant, arrière, droite, gauche", n'est plus applicable. Au pôle nord toutes les directions sont vers sud et, vice-versa, au pôle sud toutes les directions sont nord. Ceci est une conséquence de la façon dont nous nous orientons sur la planète Terre.

Si nous prêtons plus d'attention, nous remarquons une différence substantielle entre les méridiens, qui vont dans le sens nord-sud, et les parallèles, qui suivent est-ouest. Si un avion devrait connecter deux villes sur le même méridien, il se déplacerait sur une route que suivrait précisément le méridien reliant les villes, alors que s'il s'agissait de relier deux villes sur le même parallèle, il suivrait un itinéraire complètement différent (si le parallèle n’est pas l'équateur!)

Et si nous aurions de transcrire ces itinéraires sur une carte? Est-ce qu'il aura de ligne droite? Comment on peut dessiner précisément le routes des avions ou des bateaux sur une de la planète Terre? Quel type de carte serait la plus appropriée? Y a-t-il une “carte parfaite" qui pourrait représenter la Terre sans avoir la distorsion des zones, des angles ou des distances? Et, dans le monde réel, quel chemin est le plus court à emprunter pour relier deux points distincts sur la planète? Quelle est le chemin à suivre si nous voulons éviter des virements?

Ces problèmes ont affecté les navigateurs, les explorateurs et les mathématiciens depuis des siècles.

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## Températures

Les scientifiques doivent traiter tous les jours un problème: ils recueillissent une grande masse des données et ils ont besoin d’avoir des outils pour les élaborer et pour les présenter au public dans une façon qui puisse être claire et synthétique.

Pour montrer un exemple de ce problème et, au même temps, montrer aussi l’aide fourni par la mathématique, on a réalisé ces applications: nous avons demandé à l’ARPA (acronyme italien pour appeler l’Agence Régional pour la Protection de l’Environnement) de la Lombardie - une des régions italiennes - les relevés d’une centrale localisée à Milan. L’ARPA nous a fourni les températures horaires du 1990 au 2012: en total nous avons reçu 192.840 données!

La première application vous permets de expérimenter directement la problématique d’avoir autant de données: vous pouvez choisir un intervalle temporel e voir le cours des température. Vous pouvez aussi voir le température minimal et maximales pour la période considérée.

La deuxième application vous permets de voir en pratique des notions de base de statistique, en calculant la temperature maximale moyenne et celle minimale, pendant différents intervalles temporales. Vous pouvez aussi tracer la ligne des moindres carrés, c’est à dire une droite avec la propriété d’estimer les données en façon que les valeurs effectives recueillis soient écartés le moins que possible des valeurs représentés par la droite.

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## Wator

Cette animation interactive est inspirée par l’automate cellulaire Wator. Cet automate a été créé par le mathématicien canadien Alexander Keewatin Dewdney et présenté dans l’article "Computer Recreations: Sharks and fish wage an ecological war on the toroidal planet Wa-Tor" .

Le mot “Wa-Tor” viens des mots “Water ” et “Torus” (qui est le mot mathematique pour un tube courbé refermé sur lui-même) Les differences entre notre modèle et l’original sont nécessaires pour avoir plus liberté de variation des paramètres qui gouvernent le système.

Chaque animal est dans une carré de la grille et peut se deplacer dans les carrés adjacents (choisi par l’utilisateur) suivant des très simples règles.

Un animal de la première espèce (poissons), affiché en verte, se deplace avec un chemin aléatoire dans un espace vide. Après un certain laps de temps il se reproduit et il génère un autre poisson et, enfin, il meurt.

Un animal de la deuxième espèce (requins), affiché en rouge, mange des poissons près de lui ; s’y en a pas il suit un chemin aléatoire. Après un certain laps de temps il se reproduit et il génère un autre requin. S’il est pas capable de se nourrire, il meurt.

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